Геометрія завжди мала численні практичні застосу­вання. Основними її споживачами були землеміри, реміс­ники, будівельники, художники. Землемірам потрібні були правила вимірювання ділянок землі, будівельники, кори­стуючись геометрією, креслили план споруди, а потім зводили її, користуючись певними, виробленими протя­гом століть правилами, згідно з якими певні геомет­ричні форми частин споруд були пов'язані з умовами їх міцності.

Будівельники використовували також правило про­порційного поділу. Ремісникам потрібні були поняття про геометричні фігури та форми, про об'єми геометричних тіл. Використовували вони й правило пропорційного поділу. Завдання художників було складнішим: їм потрібно було відтворити на двовимірній площині те, що відбувається в тривимірному просторі. Для цього їм довелося розробити своєрідну геометрію — рід проективної геометрії.

Потреби розв'язувати задачі фортифікації та оборони фортець зумовили створення в останній чверті XVIII ст. ще однієї галузі геометрії — нарисної геометрії.

Ідеї геометрії — одна з основ, на якій у XIX ст. була фактично створена сучасна теорія проектування будівель­них споруд, а також загальне машинобудування.

Геометричні міркування під час виконання багатьох робіт часто бувають вирішальними.

Геометрія допомагає визначати площі різних повер­хонь, що важливо не лише для сільського господарства, а й для будівельних робіт, для розрахунків, пов'язаних з пошивом одягу та взуття, з обчисленням витрати палива тощо, знаходити об'єми тіл, які потрібні, наприклад, при розрахунках витрати матеріалів під час будівельних робіт. При будівництві гідротехнічних споруд, створенні системи зрошування земель доводиться визначати кількість води, яка проходить за одиницю часу в тому чи іншому місці каналу. І тут швидкість течії множать на площу попереч­ного перерізу потоку, тобто знову звертаються до гео­метрії.

Розрахунки роботи багатьох машин і приладів ґрунтуються на відповідних властивостях геометричних фігур.

Різні вироби як важкої (верстати, двигуни тощо), так і легкої (взуття, головні убори тощо) промисловості випус­кають кількома серіями. При визначенні розмірів в основу кладуть подібність фігур і властивості прогресій.

При будівництві шляхів заокруглення на поворотах здійснюють за допомогою спеціально дібраних кривих (не лише кола).

Математика вчить чіткості й строгості й чіткості мір­кувань, учить усвідомлювати всі застосовувані в доведен­нях посилання й розрізняти доведене і здогад, виховує вимогливість до повноцінності аргументації. Завдяки своїй строгості математичні теорії є надійним знаряддям у розкритті таємниць природи.

Особливо приємними для зору є геометричні форми, під­порядковані закономірностям так званого золотого поділу (перерізу) — поділу відрізка на такі дві частини, що від­ношення всього відрізка до більшої частини дорівнює від­ношенню частин. Величина цього відношення 1,618. Таку величину має відношення діагоналі пра­вильного п'ятикутника до його сторони, зустрічається воно і в інших фігурах.

З поняттям про золотий переріз відрізка були обізнані, мабуть, ще піфагорійці, які вміли будувати правильний опуклий п'ятикутник. Уперше задачу про золотий переріз сформулював Евклід у «Началах» (II книга).

У Стародавній Греції золотий поділ широко використо­вували як архітектори (Парфенон в Афінах), так і скульп­тори (статуя Аполлона).

Існує правило, за яким лоб, ніc і нижня частина об­личчя красивої людини повинні мати однакові розміри. У людини, обличчя якої здається особливо пропорційним, рот ділить нижню частину обличчя, а дуги брів — усе обличчя в золотому відношенні.

Ще в давні часи помічено, що прямокутник, у якому сторони становлять частини відрізка, поділеного за прави­лом золотого поділу, справляє приємне зорове враження. Тому такої форми спеціально надають багатьом предметам: поштовим листівкам, маркам, картинам, книжкам (коли це, звичайно, не суперечить вимогам практики).

Таким чином, золотий переріз застосовується в таких, здавалося б, віддалених од математики питаннях, як тео­рія віршування, музика, архітектура, естетика, живопис.

Ми звикли розрізняти навколишні предмети за їх роз­мірами, кольором, масою тощо. Щоб виявити ці відмінно­сті, потрібні спостереження та вимірювання. Зокрема, внаслідок вимірювання ми робимо висновок, що аркуш учнівського зошита має форму прямокутника з довжиною 20 см і шириною 17 см, причому його розбито на квад­рати, у кожного з яких довжина сторони 5 мм.

Такий опис, очевидно, не охоплює всіх особливостей і властивостей аркуша. Тут не сказано нічого, наприклад, про його товщину, колір та якість (зокрема, про те, чи прозорий він, чи можна писати на ньому ручкою, чи тільки олівцем тощо).

Проте саме форма речей та їх розміри й цікавлять гео­метрію.

Математика, у тому числі й геометрія, є однією з найстародавніших наук. Історія людства налічує понад 2 міль­йони років. Вже первісним людям доводилося лічити: треба було визначати, скільки людей в тій чи іншій групі, давати кількісну оцінку здобичі (м'яса, риби, плодів, по­живних коренів) тощо.

Не могли люди не звернути увагу також і на форми речей: щоб виготовити наконечник стріли або списа, видов­бати човен із стовбура, треба було придивлятися до від­повідних форм камінців, стовбурів дерев тощо. Фіксуючи найприйнятніші форми, люди навчилися виготовляти по­суд, пристосування для роботи і полювання, обладнувати житло.

З розвитком людського суспільства нагромаджувалися знання про форми і властивості цих форм, що сприяло удосконаленню трудових процесів, пов'язаних з будівни­цтвом каналів, городищ і різних за призначенням великих споруд.

Перехід до осідлого землеробства висунув проблему вимірювання земельних ділянок. З'явилися й перші фа­хівці у цій галузі — землеміри. Щоб краще виконувати свої професійні завдання, вони змушені були виявляти і вивчати властивості різних форм та фігур.

Грандіозні єгипетські піраміди, дивовижні споруди в Америці, Індії, Китаї, багатьом з яких по кілька тисяч років, свідчать, що вже в сиву давнину люди багато знали про форми речей і вміло використовували ці знання.

Проте це ще не були наукові знання. Математика стала наукою лише в VII—VI століттях до н. е.— з того часу, коли в ній почали не лише описувати фігури та їх власти­вості, а й обґрунтовувати наявність цих власти­востей, доводити правильність висловлених про ці фігури тверджень.

Значно раніше від того часу з'явилися посібники для вивчення математики.

Але всі вони являли собою певні набори задач (здебіль­шого практичного змісту) з вказівками щодо того, як знайти невідоме число — кількість речей, відстань, час, площу і т. п. І зовсім не пояснювалося, чому слід робити саме так, а не інакше. Просто подавався зразок, за яким треба було розв'язувати аналогічні задачі.

Тепер становище докорінно змінилося: на перше місце висувається обґрунтування правильності розв'язування, доведення. За 600 років до н. е. такий підручник з геомет­рії нового типу написав грецький вчений Фалес Мілетський (640-548 до н. е.). Він був філософом-матеріалістом, астрономом і математиком, його вважали одним з найвидатніших мудреців стародавніх часів, двічі нагороджували золотою триногою як наймудрішого з еллінів. Підручник Фалеса був невеликим за обсягом, але саме з нього починається історія геометрії як науки. Кожне твердження про геометричні фігури Фалес обґрунтовує. Відтоді математики саме так оформлюють свої міркування. Через це Фалеса з повною підставою називають батьком геометрії.

Автор біографій багатьох видатних діячів стародавніх часів Плутарх писав, що Фалес був єдиним ученим, який у своїх дослідженнях «пішов далі того, що було необхід­ним для практичних потреб».

Уже за часів Фалеса геометрія займалася не лише вимі­рюванням земельних ділянок, проте назва її (вона похо­дить від грецьких слів — «земля» і — «вимі­рювати») передає саме це первісне її призначення. У підруч­нику Фалеса було порівняно небагато математичних твер­джень. Але вчені, які працювали після нього, продовжу­вали розвивати геометрію.

Серед учених-геометрів особливе місце належить гре­цькому математику Евкліду (IV-III ст. до н. е.). Близько 300 р. до н. е. він написав твір під назвою «Нача­ла», у 13 книгах якого систематизував математичні знання того часу, подавши їх у стрункій системі. «Начала» Евкліда протягом двох тисяч років вважали зразком наукового твору взагалі і перевидавали різними мовами понад 500 разів.

Побудова геометрії і в наш час багато в чому здійс­нюється за планом Евкліда, а геометрію, яку ми вивчаємо, називають евклідовою. До XIX ст. у школах ряду країн геометрію взагалі вивчали за «Началами» Евкліда, Дещо переробивши їх. Сучасні підручники, хоч і мають істотні відмінності од «Начал», доведення багатьох теорем подають в основному за Евклідом.

Термін «точка» походить від дієслова «ткнути», первіс­ний зміст — наслідок миттєвого уколу (латинське pungo — «колю»). Термін «лінія» походить від латинського Ііnеа, Що означає «лляна нитка». Спочатку під лінією розуміли тільки пряму (натягнену нитку, вірьовку), але вже в IV ст. до н. е. поняття лінії розширилося, і пряму вважали лише одним з видів ліній.

Градусне вимірювання кутів з'явилося у вавілонян приблизно 45 віків тому. Перехід до осідлого землеробства обумовив потребу ведення календаря, а він міг базува­тися лише на даних астрономії. Тому не випадково у Ваві­лоні велися систематичні спостереження за сузір'ями і планетами, за їх видимими переміщеннями по небесній сфері. При цьому помітили, що діаметри видимих кругів У Сонця і Місяця майже однакові, причому в половині кола, яке описують над горизонтом, вкладаються 180 раз. Це і привело до думки поділити розгорнутий кут на 180 рів­них частин.

До XVII століття у грецьких і європейських матема­тиків йшлося лише про кути, не більші від розгорнутого. Вчення про кути довільної величини з'явилося значно пізніше.

Термін «градус» — походить від латинського gradus, буквально означає «крок». Сучасні позначення градусів та їх частин (мінут, секунд) увів в 1558 р. французький лікар і математик Пелетьє. На початку XVII сто­ліття вони вже широко розповсюдилися.

У Франції ввели поділ прямого кута на 100 рівних час­тин, які назвали градами. Град поділяється на 100 метричних мінут, а метрична мінута на 100 мет­ричних секунд. Такі одиниці вимірювання вико­ристовують також у Бельгії, Голландії, Люксембургу.

Моряки поділяють розгорнутий кут на 16 рівних час­тин — румбів.

У військовій справі розгорнутий кут поділяють на 30 частин, які називають великими поділками кутоміра. Велика поділка кутоміра поділяється на 100 малих, так званих тисячних.

Вимірюють кути (у градусах та їх частинах) за допомо­гою звичайного транспортира, про який розповідається в навчальному посібнику. Використовують і досконаліші транспортири, які дозволяють вимірювати кути з біль­шою точністю (до 6').

При вимірюванні кутів на місцевості використовують спеціальні кутомірні інструменти — теодоліт, гоніометр, астролябію та ін.

Моделі суміжних кутів відомі людям давно. Уяв­лення про такі кути складається під час розгляду шляхів або каналів, які перетинаються, при спорудженні внутріш­ніх стін будинків тощо. Проте тривалий час основну вла­стивість суміжних кутів практично не використовували. До XVIII ст. в підручниках окремо доводили, що у рівнобедреного трикутника рівні кути при основі, а також рівні зовнішні кути при основі.

Суміжні кути пов'язані ще з одним означенням пря­мого кута (перше полягало в тому, що це кут, градусна міра якого 90o): прямим кутом називається кут, який до­рівнює своєму суміжному.

Після цього очевидний перехід до перпендикулярних прямих.

Термін «перпендикуляр» походить від латинського perpendre — зважувати і пізнішого perpendiculum — важок, висок.

Перед вивченням цієї теми доцільно пояснити учням, чому питанням рівності фігур приділяється така велика увага.

Масове промислове виробництво пов'язане із стандар­тизацією. Зокрема, встановлюються розміри окремих дета­лей і зазначаються допустимі відхилення від них. Саме тому, наприклад, гайки, виготовлені в певному цеху, можна використовувати не лише для якогось конкретного авто­мобіля, а для будь-яких автомобілів, де є болти такого самого діаметра. Щоб стандартів було додержано, на кож­ному підприємстві є служба контролю, працівники якої стежать за тим, щоб кожна деталь і весь виріб в цілому мали встановлені розміри. Контроль здійснюється не на око і не прикладанням однієї деталі до другої (або до ета­лону) — існує контролююча апаратура (відповідні інстру­менти і пристрої), розроблено прийоми і методи контролю.

Трикутник є однією з найпоширеніших геометричних фігур, у багатьох технічних виробах використовуються трикутні деталі або їх частини. Порівнювання двох трикут­ників часто є елементом порівнювання двох складніших геометричних фігур.

Порівнювати за розмірами дві геометричні фігури на­кладанням не тільки не просто, а в реальних умовах іноді взагалі нездійсненно. Саме тому порівнювати геометричні фігури потрібно геометричними методами.