Відповіді

1. Сума двох чисел, що стоять біля вершини і протилежної сторони, дорівнює сумі трьох чисел, що стоять біля трьох вершин. Оскільки ця сума незмінна, то і сума числа, що стоїть біля вершини, і числа, що стоїть біля протилежної сторони, буде постійна для будь-якої вершини трикутника.

2. Позначимо вагу рюкзака — Р, вага валізи — В, вага саквояжа — С, вага корзини — К. Тоді умови завдання можна записати у такому вигляді: 1) В >Р; 2) С+Р > В +К; 3) Л +С = В +Р. З умов 1) і 2) витікає, що С >К. Дійсно, якби виконувалася умова К > С, то з врахуванням цього і умови В >Р, вийшло б, що К + В >С+Р, а це протиріччя умові 2). З умов 2) і 3) витікає, що 2С +Р +К >2 В +Р +К, або С>В. Але, якщо С>В, то умова 3) може виконуватися лише при Р > К. Таким чином, нам відомо, що В >Р, С>К, С> В, Р >К. Виконання всіх чотирьох нерівностей можливе лише у разі, коли С > В >Р >Л. Отже, найважчою річчю є саквояж, дещо легше валіза, ще легше рюкзак, а найлегша — корзина.

3. Добуток будь-якої послідовності чисел, серед яких є числа, що закінчуються на 5, закінчуватиметься або на 0 (якщо в послідовності є хоч би одне парне число), або на 5 (якщо всі числа непарні). У нас в обох випадках відсутні парні числа, але є числа, що закінчуються на 5, тому останньою в обох добутках буде цифра 5.

4. Після першого викреслювання залишаться лише ті цифри, первинні номери яких парні, після другого — ті, чиї первинні номери ділилися на 4, після третього — на 8 і так далі. Перед останнім викреслюванням залишиться цифра, первинний номер якої дорівнює найбільшому можливому степеню 2, тобто рівний 64. Це цифра 4.

5. У перший день Вася прочитав 1/2, в другий день 1/3 від 1-1/2, тобто 1/6 . Отже, за перших 2 дні Вася прочитав 1/2+1/6=2/3 книги; значить, в третій день він прочитав ту, що залишилася 1/3 книги, тобто встиг за 3 дні прочитати всю книгу.

6. Позначимо число, задумане Льонею, через x. Тоді можна скласти рівняння ((((x +5) :3) -4 ) -6 ) :7=2. Перенісши послідовно всі числа з лівої частини в праву, отримаємо нове рівняння x =(( ((2 •7) +6) :4 •3 ) -5, з якого легко визначаємо, що x =10. Звідси, до речі, видно, що для визначення задуманого числа (яке ми позначили через x) потрібно з отриманим Льонею числом (2) виконати зворотні дії в зворотному порядку.

7. Вага бідона дорівнює різниці між подвоєною вагою бідона, наповненого до половини (тобто вага молока + подвоєна вага бідона), і вагою повного бідона (вага бідона + вага молока). Значить, вага бідона 1 кг

8. З 100 л молока вийде 15 кг вершків, а з 15 кг вершків — 4,5 кг масла.

9. Якби годували лише собак, знадобилося б 10•6=60 котлет. Зайві 4 котлети знадобилися б тому, що собака з'їдає на одну котлету більше, ніж кішка. Це означає, що кішок було 4, а собак, відповідно, 6.

10. З того, скільки заплатив перший ковбой, можна взнати, скільки коштують 8 сандвічів, 2 чашки кави і 20 тістечок. А з того, скільки заплатив другий ковбой, можна взнати, скільки коштують 9 сандвічів, 3 чашки кави і 21 тістечко. Різниця цих сум дасть якраз вартість сандвіча, чашки кави і тістечка, а саме 40 грн.

11. Якщо від шнурка відрізувати 1/4, залишиться якраз 50 см. Дійсно, 2/3- (2/3•1/4)=1/2 .

12. Коли 8 білих кульбаб облетіли, на галявині залишилося 27 кульбаб — 18 жовтих і 9 білих. Отже, спочатку на галявині  росло 18 +2 =20 жовтих і 9+8-2=15 білих кульбаб.